2024年全国一高考数学压轴题
(3) 证明: 显然, 等差数列
{
a
1
,
.
.
.
,
a
4
n
+
2
}
\{a_{1},…,a_{4n+2}\}
{a1,…,a4n+2} 是
(
i
,
j
)
(i, j)
(i,j)-可分的等价于等差数列
{
1
,
.
.
.
,
4
n
+
2
}
\{1,…,4n+2\}
{1,…,4n+2} 是
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)-可分的. 前推后显然, 我们考虑后推前, 在去掉第
i
i
i 和
j
j
j 项后, 若一个分割方案把
{
1
,
.
.
.
,
4
n
+
2
}
\{1,…,4n+2\}
{1,…,4n+2} 分割成
n
n
n 个长为4的等差数列, 那么该分割方案也必然把
{
a
1
,
.
.
.
,
a
4
n
+
2
}
\{a_{1},…,a_{4n+2}\}
{a1,…,a4n+2} 分割成
n
n
n 个长为4的等差数列, 因此二者等价.
考虑使得
{
1
,
.
.
.
,
4
n
+
2
}
\{1,…,4n+2\}
{1,…,4n+2}
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)-可分的
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j) 的可行取值数目:
当
n
=
1
n=1
n=1 时, 通过穷举,
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j) 可取
(
1
,
2
)
(1,2)
(1,2),
(
1
,
6
)
(1,6)
(1,6),
(
5
,
6
)
(5,6)
(5,6). 当
n
=
k
n=k
n=k 时, 设
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j) 有
x
k
x_k
xk 个可行取值, 考虑当
n
=
k
+
1
n = k+1
n=k+1 时:
{
1
,
.
.
.
,
4
k
+
6
}
\{1,…,4k+6\}
{1,…,4k+6} 的前
4
4
4 项和后
4
k
+
2
4k+2
4k+2 项分别构成两个等差数列. 由此易知, 将
n
=
k
n=k
n=k 时的每个
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j) 可行取值整体加
4
4
4, 就构成了当前的一个可行取值. 令
i
i
i 取
1
1
1,
j
j
j 取
(
1
,
4
s
+
2
)
(1, 4s+2)
(1,4s+2), 其中
0
≤
s
≤
n
0\leq s \leq n
0≤s≤n, 此时
i
i
i,
j
j
j 之间的数的个数为
4
4
4 的整数倍,
j
+
1
j+1
j+1 到
4
n
+
2
4n+2
4n+2 之间数的个数为
4
4
4 的整数倍, 显然
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j) 的取值是可行的, 即
(
1
,
4
s
+
2
)
(1, 4s+2)
(1,4s+2),
0
≤
s
≤
n
0\leq s \leq n
0≤s≤n 是可行的. 设
2
≤
d
≤
n
2\leq d\leq n
2≤d≤n, 则
1
1
1 到
4
d
4d
4d 刚好可以分成
d
d
d 个长度为4的等差数列
{
1
,
.
.
.
,
1
+
3
d
}
\{1,…,1+3d\}
{1,…,1+3d},
{
2
,
.
.
.
,
2
+
3
d
}
\{2,…,2+3d\}
{2,…,2+3d}, …,
{
d
,
.
.
.
,
4
d
}
\{d,…,4d\}
{d,…,4d},
2
+
4
d
2+4d
2+4d 与
4
d
4d
4d 之间刚好隔了一个数
4
d
+
1
4d+1
4d+1, 去除
2
2
2 和
4
d
+
1
4d+1
4d+1,
1
1
1 到
4
d
+
2
4d+2
4d+2 也可以分成
d
d
d 个长度为
4
4
4 的等差数列
{
1
,
.
.
.
,
1
+
3
d
}
\{1,…,1+3d\}
{1,…,1+3d},
{
2
+
d
,
.
.
.
,
2
+
4
d
}
\{2+d,…,2+4d\}
{2+d,…,2+4d}, …,
{
d
,
.
.
.
,
4
d
}
\{d,…,4d\}
{d,…,4d}. 令
i
i
i 取
2
2
2,
j
=
4
d
+
1
j=4d+1
j=4d+1, 则去除
i
i
i 和
j
j
j 后
1
1
1 到
4
d
+
2
4d+2
4d+2 也刚好可以分成
4
4
4 个长度为
4
4
4 的等差数列, 剩下的数相邻四个为一组可以分成长度为
4
4
4 的若干等差数列, 所以此时的
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j) 取值是可行的, 即
(
2
,
4
d
+
1
)
(2, 4d+1)
(2,4d+1),
2
≤
d
≤
n
2\leq d \leq n
2≤d≤n 是可行的. 因此
n
=
k
+
1
n=k+1
n=k+1 时的可行取值数目至少为
x
k
+
1
=
x
k
+
2
k
+
2
x_{k+1}=x_k+2k+2
xk+1=xk+2k+2. 递推可得
x
k
+
1
≥
3
+
2
(
1
+
.
.
.
+
k
)
+
2
k
=
k
2
+
3
k
+
3
x_{k+1} \geq 3+2(1+…+k)+2k=k^2+3k+3
xk+1≥3+2(1+…+k)+2k=k2+3k+3.
综上, 尽管没求出可行取值的具体数目, 但可知其下界为
n
2
+
n
+
1
n^2+n+1
n2+n+1. 使得数列
{
a
1
,
.
.
.
,
a
4
m
+
2
}
\{a_1,…,a_{4m+2}\}
{a1,…,a4m+2}
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)-可分的
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j) 可行取值数目至少为
m
2
+
m
+
1
m^2+m+1
m2+m+1. 所以随机抽取两个
1
1
1 到
4
m
+
2
4m+2
4m+2 的数
(
i
,
j
)
(i, j)
(i,j), 其使得
{
a
1
,
.
.
.
,
a
4
m
+
2
}
\{a_1,…,a_{4m+2}\}
{a1,…,a4m+2}
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)-可分的概率至少为:
m
2
+
m
+
1
(
2
m
+
1
)
(
4
m
+
1
)
=
m
2
+
m
+
1
8
m
2
+
6
m
+
1
>
1
8
\frac{m^2+m+1}{(2m+1)(4m+1)}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+6m+1}\gt \frac{1}{8}
(2m+1)(4m+1)m2+m+1=8m2+6m+1m2+m+1>81.
PS: 没做出来, 只是看了答案之后觉得可以用数学归纳法做. 本16届表示上学的时候压根没见过这样的题, 而且现在三选一怎么没了?
