统计信号处理基础 习题解答10-9

题目

某质检员的工作是监控制造出来的电阻阻值。为此他从一批电阻中选取一个并用一个欧姆表来测量它。他知道欧姆表质量较差，它给测量带来了误差，这个误差可以看成是一个的随机变量。为此，质检员取N个独立的测量。另外，他知道阻值应该是100欧姆。由于制造允许的容差，通常他们在用表示的误差范围内，其中。如果质检员选择一个电阻，那么平均来说需要多少次欧姆表测量才能保证阻值R的MMSE估计量精确到0.1欧姆？也就是说，质检员在一整天内需要连续选择多少个电阻？如果他没有关于制造容差的任何先验知识，他需要测量多少次。

解答

每次采集的电阻值满足：

根据题目条件：

其中的这个分布属于高斯先验PDF，即；而欧姆表的观测误差由决定，即决定了条件PDF的方差，同时假设和相互独立。

由例10.1得到的后验方差为：

根据题目要求，希望MMSE估计量精确到0.1，那么换算到方差要小于0.01，也就是B，带入和可以得到：

得到：

因此，可以取10

而如果没有先验知识，也就是，此时：

此时，再要求，需要。

因此，如果我们能够事先获取待估计量的先验PDF，在相同的精度要求下，可以大大减小观测次数，也就是观测时间。