Einstein Summation 爱因斯坦求和 torch.einsum

flyfish

理解爱因斯坦求和的基本概念和语法，这对初学者来说可能有一定难度。对于不熟悉该表示法的用户来说，可能不如直接的矩阵乘法表达式易于理解。

整个思路是

向量的点积 -》矩阵乘法-》einsum

向量之间的点积在几何上表示两个向量的投影和夹角，在代数上用于衡量向量的相似性，并且在物理学中用于计算力做的功。
矩阵乘法是由多个向量点积组成的，可以看作是多个向量点积的组合
einsum 操作可以用其他内置的矩阵运算函数来实现

使用 einsum 进行矩阵乘法

import torch

# 定义两个矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)

# 使用 einsum 表示矩阵乘法
C = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)
print(C)

使用 matmul 进行矩阵乘法

import torch

# 定义两个矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)

# 使用 matmul 表示矩阵乘法
C = torch.matmul(A, B)
print(C)

开始解释

向量之间的点积（也称为内积或标量积）在数学、物理学和计算中有着重要的意义。点积是两个向量乘积的一种特殊形式，其结果是一个标量。点积在许多领域中都有广泛的应用，包括向量的投影、计算角度、物理学中的功、机器学习中的相似性度量等。

点积的定义

给定两个n维向量

a

\mathbf{a}

a 和

b

\mathbf{b}

b，它们的点积定义如下：

a

⋅

b

=

∑

i

=

1

n

a

i

b

i

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i

a⋅b=∑i=1n​ai​bi​

点积的几何意义

1. 计算向量间的夹角：
   点积可以用来计算两个向量之间的夹角 $\theta$
2. 投影：
   点积可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影。例如，向量 $\mathbf{a}$

点积的代数意义

1. 向量相似性：
   在机器学习和数据分析中，点积可以用来衡量两个向量之间的相似性。如果两个向量的方向相同，它们的点积为正；如果两个向量的方向相反，它们的点积为负；如果两个向量正交，它们的点积为零。
2. 功的计算：
   在物理学中，点积用于计算力和位移的乘积，即功。例如，如果一个物体在力 $\mathbf{F}$

例子

计算两个二维向量的点积

假设

a

=

[

a

1

,

a

2

]

\mathbf{a} = [a_1, a_2]

a=[a1​,a2​] 和

b

=

[

b

1

,

b

2

]

\mathbf{b} = [b_1, b_2]

b=[b1​,b2​]，它们的点积为：

a

⋅

b

=

a

1

b

1

+

a

2

b

2

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

a⋅b=a1​b1​+a2​b2​

import numpy as np

# 定义两个向量
a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4])

# 计算点积
dot_product = np.dot(a, b)
print(dot_product)  # 输出: 11

计算两个三维向量的夹角

假设

a

=

[

a

1

,

a

2

,

a

3

]

\mathbf{a} = [a_1, a_2, a_3]

a=[a1​,a2​,a3​] 和

b

=

[

b

1

,

b

2

,

b

3

]

\mathbf{b} = [b_1, b_2, b_3]

b=[b1​,b2​,b3​]，它们的点积和夹角计算如下：

import numpy as np

# 定义两个向量
a = np.array([1, 0, 0])
b = np.array([0, 1, 0])

# 计算点积
dot_product = np.dot(a, b)

# 计算向量的模
norm_a = np.linalg.norm(a)
norm_b = np.linalg.norm(b)

# 计算夹角的余弦值
cos_theta = dot_product / (norm_a * norm_b)
theta = np.arccos(cos_theta)

print(f"夹角: {np.degrees(theta)} 度")  # 输出: 90.0 度

矩阵乘法

矩阵乘法是两个矩阵

A

A

A 和

B

B

B 的乘积

C

C

C，其中：

• 矩阵 $A$
• 矩阵 $B$
• 矩阵 $C$

换句话说，矩阵

C

C

C 的元素

C

i

j

C_{ij}

Cij​ 是矩阵

A

A

A 的第

i

i

i 行和矩阵

B

B

B 的第

j

j

j 列的点积。

从矩阵乘法到向量点积

考虑两个矩阵

A

A

A 和

B

B

B，我们可以将矩阵乘法分解为一系列的向量点积：

1. 提取行向量和列向量：

• 矩阵 $A$
• 矩阵 $B$

2. 计算点积：

• C

  i

  j

  C_{ij}

  Cij​ 是向量

  a

  i

  \mathbf{a_i}

  ai​ 和向量

  b

  j

  \mathbf{b_j}

  bj​ 的点积，即：
  

  C

  i

  j

  =

  a

  i

  ⋅

  b

  j

  C_{ij} = \mathbf{a_i} \cdot \mathbf{b_j}

  Cij​=ai​⋅bj​
  例如，考虑矩阵

  A

  A

  A 和

  B

  B

  B：
  

  A

  =

  (

  1

  2

  3

  4

  )

  A =\begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{pmatrix}

  A=(13​24​)
  

  B

  =

  (

  5

  6

  7

  8

  )

  B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \ \end{pmatrix}

  B=(57​68​)
  它们的乘积

  C

  =

  A

  B

  C = AB

  C=AB 为：
  

  C

  =

  (

  1

  ⋅

  5

  +

  2

  ⋅

  7

  1

  ⋅

  6

  +

  2

  ⋅

  8

  3

  ⋅

  5

  +

  4

  ⋅

  7

  3

  ⋅

  6

  +

  4

  ⋅

  8

  )

  =

  (

  19

  22

  43

  50

  )

  C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \ \end{pmatrix}

  C=(1⋅5+2⋅73⋅5+4⋅7​1⋅6+2⋅83⋅6+4⋅8​)=(1943​2250​)
  在这里：
  

  C

  11

  =

  1

  ⋅

  5

  +

  2

  ⋅

  7

  =

  19

  C

  12

  =

  1

  ⋅

  6

  +

  2

  ⋅

  8

  =

  22

  C

  21

  =

  3

  ⋅

  5

  +

  4

  ⋅

  7

  =

  43

  C

  22

  =

  3

  ⋅

  6

  +

  4

  ⋅

  8

  =

  50

  C_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19 \ C_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22 \ C_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43 \ C_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50

  C11​=1⋅5+2⋅7=19C12​=1⋅6+2⋅8=22C21​=3⋅5+4⋅7=43C22​=3⋅6+4⋅8=50

使用 PyTorch 进行矩阵乘法和点积

以下是如何在 PyTorch 中实现矩阵乘法和向量点积：

import torch
# 定义两个矩阵
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
B = torch.tensor([[5, 6], [7, 8]])
# 使用 torch.matmul 进行矩阵乘法
C = torch.matmul(A, B)
print(C)
# 输出:
# tensor([[19, 22],
# [43, 50]])
# 提取行向量和列向量
a1 = A[0, :] # A 的第一行
b1 = B[:, 0] # B 的第一列
# 计算点积
dot_product = torch.dot(a1, b1)
print(dot_product)
# 输出: tensor(19)

爱因斯坦求和

爱因斯坦求和约定（Einstein Summation Convention）是一种在物理学和数学中简化张量运算表示的方法。它由阿尔伯特·爱因斯坦在他的广义相对论论文中引入。这个约定的核心思想是通过省略求和符号（∑），简化公式的书写，增强表达的简洁性和可读性。

背景与起源

在物理学中，尤其是在处理广义相对论和量子力学中的张量时，常常需要进行大量的求和运算。为了简化这些计算的书写，爱因斯坦提出了一种简便的表示法：对于任何重复出现的指标，默认对其进行求和。

具体规则

1. 求和隐含性：在一个表达式中，如果一个指标（下标或上标）在一个单项式中出现两次，则认为对该指标求和。例如：

   a

   i

   b

   i

   =

   ∑

   i

   a

   i

   b

   i

   a_i b_i = \sum_{i} a_i b_i

   ai​bi​=∑i​ai​bi​在这种表示法中，i 被称为“哑指标”或“虚指标”。

2. 自由指标：如果一个指标在表达式中仅出现一次，则称其为自由指标，这个指标代表一个范围的所有可能值。例如：

   c

   i

   =

   a

   i

   j

   b

   j

   c_i = a_{ij} b_j

   ci​=aij​bj​这里的 i 是自由指标，而 j 是哑指标。

3. 多重求和：可以在一个表达式中使用多个哑指标进行多重求和。例如：

   d

   =

   a

   i

   j

   b

   j

   k

   c

   k

   d = a_{ij} b_{jk} c_k

   d=aij​bjk​ck​在这个例子中，j 和 k 都是哑指标，意味着：

   d

   =

   ∑

   j

   ∑

   k

   a

   i

   j

   b

   j

   k

   c

   k

   d = \sum_{j} \sum_{k} a_{ij} b_{jk} c_k

   d=∑j​∑k​aij​bjk​ck​

在使用 torch.einsum 时，我们可以利用爱因斯坦求和约定来简洁地表示矩阵乘法、张量收缩等操作：

import torch

# 矩阵乘法
A = torch.randn(3, 4)
B = torch.randn(4, 5)
C = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)

在上面的例子中，‘ik,kj->ij’ 表示矩阵乘法，其中

k

k

k 是求和下标，最终结果的维度由

i

i

i 和

j

j

j 确定。

‘ik,kj->ij’ 是爱因斯坦求和约定在 torch.einsum 中的一个具体应用，表示矩阵乘法。让我们详细解析一下这个表示：

表达式解析

1. 输入张量：

• 假设我们有两个矩阵 A 和 B。
• A 的形状为 (i, k)，即 A 有 i 行和 k 列。
• B 的形状为 (k, j)，即 B 有 k 行和 j 列。

2. 爱因斯坦求和约定：

• ‘ik,kj->ij’ 中的 ik 和 kj 分别对应输入张量 A 和 B 的维度标签。
• 中间的 , 用于分隔多个输入张量的维度标签。
• 箭头 -> 左侧表示输入张量的维度标签，右侧表示输出张量的维度标签。
• ‘ik,kj’ 表示对两个输入张量 A 和 B 进行操作，其中 k 是求和下标。

3. 求和与输出：

• 在 ‘ik,kj’ 中，k 是求和下标，表示我们要对 k 维度进行求和。
• i 和 j 出现在箭头 -> 右侧，表示输出张量的维度标签。

举例说明

假设我们有两个矩阵：

A

=

(

a

11

a

12

a

21

a

22

a

31

a

32

)

,

B

=

(

b

11

b

12

b

13

b

21

b

22

b

23

)

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix}

A=

​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​

​,B=(b11​b21​​b12​b22​​b13​b23​​)

其中：

• $A$
• $B$

import torch

A = torch.tensor([[a11, a12],
                  [a21, a22],
                  [a31, a32]])

B = torch.tensor([[b11, b12, b13],
                  [b21, b22, b23]])

C = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)

矩阵乘法过程

‘ik,kj->ij’ 表示通过对 k 维度进行求和，得到输出矩阵 C：

C

=

A

⋅

B

C = A \cdot B

C=A⋅B

其中：

C

i

j

=

∑

k

A

i

k

B

k

j

C_{ij} = \sum_{k} A_{ik} B_{kj}

Cij​=∑k​Aik​Bkj​

即：

C

i

j

=

A

i

1

B

1

j

+

A

i

2

B

2

j

C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}

Cij​=Ai1​B1j​+Ai2​B2j​

结果

根据上面的定义，最终的结果 C 是一个

3

×

3

3 imes 3

3×3 的矩阵：

C

=

(

c

11

c

12

c

13

c

21

c

22

c

23

c

31

c

32

c

33

)

C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \ c_{21} & c_{22} & c_{23} \ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}

C=

​c11​c21​c31​​c12​c22​c32​​c13​c23​c33​​

​

每个元素

c

i

j

c_{ij}

cij​ 由对应的矩阵乘法和求和计算得到。

注意力机制

在编写注意力的时候有这样的代码
scores = torch.einsum(“blhe,bshe->bhls”, queries, keys)

从向量内积的角度解释

假设 queries 和 keys 的形状分别为

(

B

,

L

,

H

,

E

)

(B, L, H, E)

(B,L,H,E) 和

(

B

,

S

,

H

,

E

)

(B, S, H, E)

(B,S,H,E)，其中:

• $B$
• $L$
• $S$
• $H$
• $E$

示例

假设我们有以下输入：

import torch

queries = torch.tensor([
    [
        [[0.5, 1.2], [0.3, 0.7]],  # 第一个 query 序列，两个头，每个头两个维度
        [[1.5, 2.2], [1.3, 1.7]],  # 第二个 query 序列，两个头，每个头两个维度
    ]
])  # 形状 (1, 2, 2, 2)

keys = torch.tensor([
    [
        [[0.8, 1.5], [0.4, 0.9]],  # 第一个 key 序列，两个头，每个头两个维度
        [[1.1, 2.3], [1.0, 1.5]],  # 第二个 key 序列，两个头，每个头两个维度
    ]
])  # 形状 (1, 2, 2, 2)

这里 queries 和 keys 的形状都是 (1, 2, 2, 2)，表示 1 个批次，2 个序列，2 个头，每个头 2 个维度。

我们希望计算注意力得分矩阵 scores，其形状为 (1, 2, 2, 2)。

计算步骤

使用 torch.einsum 计算 scores：

scores = torch.einsum("blhe,bshe->bhls", queries, keys)
print(scores)

手动计算

头 1：

• 第一个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
  $0.5\times 0.8+1.2\times 1.5=0.4+1.8=2.2$
• 第一个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
  $0.5\times 1.1+1.2\times 2.3=0.55+2.76=3.31$
• 第二个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
  $1.5\times 0.8+2.2\times 1.5=1.2+3.3=4.5$
• 第二个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
  $1.5\times 1.1+2.2\times 2.3=1.65+5.06=6.71$

头 2：

• 第一个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
  $0.3\times 0.4+0.7\times 0.9=0.12+0.63=0.75$
• 第一个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
  $0.3\times 1.0+0.7\times 1.5=0.3+1.05=1.35$
• 第二个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
  $1.3\times 0.4+1.7\times 0.9=0.52+1.53=2.05$
• 第二个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
  $1.3\times 1.0+1.7\times 1.5=1.3+2.55=3.85$

最终结果

根据上述计算，我们可以得到：

scores = torch.tensor([
    [
        [[2.2, 3.31], [4.5, 6.71]],  # 第一个头的得分
        [[0.75, 1.35], [2.05, 3.85]]  # 第二个头的得分
    ]
])

使用 PyTorch 计算

运行以下代码验证手动计算结果：

import torch

queries = torch.tensor([
    [
        [[0.5, 1.2], [0.3, 0.7]],  
        [[1.5, 2.2], [1.3, 1.7]],  
    ]
]) 

keys = torch.tensor([
    [
        [[0.8, 1.5], [0.4, 0.9]],  
        [[1.1, 2.3], [1.0, 1.5]],  
    ]
])

scores = torch.einsum("blhe,bshe->bhls", queries, keys)
print(scores)

输出：

tensor([[[[2.2000, 3.3100],
          [4.5000, 6.7100]],

         [[0.7500, 1.3500],
          [2.0500, 3.8500]]]])

从矩阵乘法的角度解释

使用矩阵乘法计算

为了将 queries 和 keys 的计算表示成矩阵乘法，我们可以按以下步骤操作：

1. 调整形状：

• 将 queries 和 keys 调整形状，使每个头的查询和键序列变成矩阵。

2. 矩阵乘法：

• 对每个头分别进行矩阵乘法。

调整形状并进行矩阵乘法

我们将 queries 和 keys 形状从 (B, L, H, E) 和 (B, S, H, E) 调整为 (B, H, L, E) 和 (B, H, E, S)，以便进行矩阵乘法。

queries_reshaped = queries.permute(0, 2, 1, 3)  # (B, H, L, E)
keys_reshaped = keys.permute(0, 2, 3, 1)       # (B, H, E, S)

# 使用矩阵乘法
scores_matmul = torch.matmul(queries_reshaped, keys_reshaped)  # (B, H, L, S)
print(scores_matmul)

输出：

tensor([[[[2.2000, 3.3100],
          [4.5000, 6.7100]],

         [[0.7500, 1.3500],
          [2.0500, 3.8500]]]])

这里的矩阵乘法使用 torch.matmul ，没有使用 torch.mm
torch.matmul 和 torch.mm 是 PyTorch 中用于矩阵乘法的两个函数，但它们在适用的张量维度上有一些不同。具体来说：

torch.mm

• 用途：专门用于两个二维矩阵（矩阵）之间的乘法。
• 输入：必须是两个二维张量，形状分别为 (m, n) 和 (n, p)。
• 输出：结果是一个二维张量，形状为 (m, p)。
  示例：

import torch

# 定义两个二维矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)

# 使用 torch.mm 进行矩阵乘法
C = torch.mm(A, B)
print(C.shape)  # 输出: torch.Size([2, 4])

torch.matmul

• 用途：更通用的矩阵乘法函数，可以处理二维及以上的张量。
• 输入：可以是二维矩阵，也可以是具有更多维度的张量。
• 输出：根据输入张量的维度，输出可能是一个矩阵或更高维度的张量。
• 广播：torch.matmul 可以处理广播（broadcasting），即输入张量的形状可以不完全匹配，但需要满足广播规则。
  示例：

import torch

# 定义两个二维矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)

# 使用 torch.matmul 进行矩阵乘法
C = torch.matmul(A, B)
print(C.shape)  # 输出: torch.Size([2, 4])

# 定义两个三维张量
A_3d = torch.randn(5, 2, 3)
B_3d = torch.randn(5, 3, 4)

# 使用 torch.matmul 进行三维张量的矩阵乘法
C_3d = torch.matmul(A_3d, B_3d)
print(C_3d.shape)  # 输出: torch.Size([5, 2, 4])

# 广播示例
A_broadcast = torch.randn(2, 3)
B_broadcast = torch.randn(5, 3, 4)

# A_broadcast 的形状将广播成 (5, 2, 3)
C_broadcast = torch.matmul(A_broadcast, B_broadcast)
print(C_broadcast.shape)  # 输出: torch.Size([5, 2, 4])

主要区别

• 适用维度：torch.mm 只适用于二维矩阵；torch.matmul 则适用于二维及以上维度的张量。
• 广播：torch.matmul 支持广播，而 torch.mm 不支持。

permute

在 PyTorch 中，permute 是一个张量（tensor）的方法，用于改变张量的维度顺序。这个操作不会改变张量的数据，只是重新排列它的维度。这对于需要改变数据的形状以适应不同操作的需求非常有用。

举例来说，如果你有一个形状为 (batch_size, height, width, channels) 的图像张量，而你的模型需要输入形状为 (batch_size, channels, height, width) 的张量，你可以使用 permute 方法来重新排列维度。

以下是一个简单的例子：

import torch

# 创建一个形状为 (2, 3, 4, 5) 的随机张量
x = torch.randn(2, 3, 4, 5)

# 使用 permute 方法改变维度顺序
x_permuted = x.permute(0, 3, 1, 2)

# 打印新张量的形状
print(x_permuted.shape)  # 输出: torch.Size([2, 5, 3, 4])

在这个例子中：

• 原始张量 x 的形状为 (2, 3, 4, 5)。
• 调用 x.permute(0, 3, 1, 2) 后，新张量 x_permuted 的形状变为 (2, 5, 3, 4)。
  permute 方法的参数是新维度顺序的索引。例如，x.permute(0, 3, 1, 2) 意味着将第 0 维保持不变，将原第 3 维移到第 1 位置，将原第 1 维移到第 2 位置，将原第 2 维移到第 3 位置。

http://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.transpose.html
http://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.einsum.html