状态方程ABCD矩阵如何确定例子

状态方程ABCD矩阵如何确定

确定状态空间表示中的状态矩阵A、输入矩阵 B、输出矩阵C 和直通矩阵D，需要从系统的动力学方程出发，并将其转换为状态方程的形式。我们可以通过一个具体的物理系统（如倒立摆系统）来说明这一过程

例子：倒立摆系统

系统描述

考虑一个倒立摆系统，其中一个质量 m 被安装在一个长度为 l 的杆的末端。摆的底部固定在一个可移动的推车上。系统的状态变量包括推车的位置 x、推车的速度 ˙x、摆的角度 θ 和摆的角速度 ˙θ。

推导状态方程

为了确定状态矩阵 A、输入矩阵 B、输出矩阵 C 和直通矩阵 D，我们首先写出系统的动力学方程。

1. 动力学方程

根据牛顿第二定律，推车和摆的运动方程为：

其中：

• m? 是推车质量
• m? 是摆质量
• l 是摆的长度
• I? 是摆的转动惯量
• g 是重力加速度

2. 线性化和状态空间表示

在平衡点 θ=0 附近进行线性化，得到如下方程：

将这些方程写成状态方程的形式ÿ