DeepSORT（目标跟踪算法）卡尔曼滤波状态向量是如何映射到观测向量（测量向量）的即观测矩阵的构建方式-个人在线分享

DeepSORT（目标跟踪 算法）卡尔曼滤波状态向量是如何映射到观测向量（测量向量）的即观测矩阵的构建方式

flyfish
测量向量和观测变量在卡尔曼滤波的上下文中通常是同一个意思。它们都指的是从系统中直接获得的数据，这些数据用于更新系统的状态估计。可以是从传感器或测量设备直接获得的数据。这些数据反映了系统在某一时刻的状态或者实际观测到的值，但通常带有噪声。

状态向量映射到观测向量的过程通过观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ 实现。观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ 描述了系统状态如何映射到观测值。下面通过一个具体的例子来详细说明这一过程。

构造观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ 的步骤包括：

定义状态变量：明确系统的状态变量。
定义观测变量：明确系统的观测变量。
写出观测方程：根据观测变量和状态变量之间的关系写出观测方程。
构造观测矩阵：根据观测方程提取观测矩阵 $\mathbf{H} H。$

例子：一维位置和速度的观测

假设我们有一个物体在一维直线上运动，我们希望估计其位置和速度，并且我们可以直接观测到位置，但不能直接观测到速度。

定义状态变量

状态向量定义为：

[

]

\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \ v_k \end{bmatrix}

$x_{k} = [x_{k} v_{k}]$
其中，

x_k

$x_{k}$ 是位置，

v_k

$v_{k}$ 是速度。

观测模型

我们可以直接测量位置

x_k

$x_{k}$ ，但不能直接测量速度

v_k

$v_{k}$ 。因此，观测向量定义为：

[

]

\mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_k \end{bmatrix}

$z_{k} = [z_{k}]$
其中，

z_k

$z_{k}$ 是我们观测到的位置。

观测方程

观测方程描述了观测向量如何由状态向量生成。在这个例子中，观测向量只包含位置，因此观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ 为：

\mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k

$z_{k} = H x_{k} + v_{k}$
其中，

\mathbf{v}_k

$v_{k}$ 是观测噪声。

对于这个例子，观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ 是：

[

]

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}

$H = [10]$

这样，观测方程可以写成：

⋅

z_k = 1 \cdot x_k + 0 \cdot v_k + v_k

$z_{k} = 1 \cdot x_{k} + 0 \cdot v_{k} + v_{k}$

即：

z_k = x_k + v_k

$z_{k} = x_{k} + v_{k}$

构造观测矩阵 $\mathbf{H} H$

通过上面的分析，我们得到了观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ ：

[

]

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}

$H = [10]$

另一个例子：二维位置和速度的观测

假设我们有一个物体在二维平面上运动，我们希望估计其二维位置和速度，并且我们可以直接观测到位置，但不能直接观测到速度。

定义状态变量

状态向量定义为：

[

]

\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \ y_k \ v_{x,k} \ v_{y,k} \end{bmatrix}

$x_{k} =$

xkykvx,kvy,k

其中，

x_k

$x_{k}$ 和

y_k

$y_{k}$ 是位置，

v_{x,k}

$v_{x, k}$ 和

v_{y,k}

$v_{y, k}$ 是速度。

观测模型

我们可以直接测量位置

x_k

$x_{k}$ 和

y_k

$y_{k}$ ，但不能直接测量速度

v_{x,k}

$v_{x, k}$ 和

v_{y,k}

$v_{y, k}$ 。因此，观测向量定义为：

[

]

\mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_{x,k} \ z_{y,k} \end{bmatrix}

$z_{k} = [z_{x, k} z_{y, k}]$
其中，

z_{x,k}

$z_{x, k}$ 和

z_{y,k}

$z_{y, k}$ 是我们观测到的位置。

观测方程

观测方程描述了观测向量如何由状态向量生成。在这个例子中，观测向量只包含位置，因此观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ 为：

\mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k

$z_{k} = H x_{k} + v_{k}$
其中，

\mathbf{v}_k

$v_{k}$ 是观测噪声。

对于这个例子，观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ 是：

[

]

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$H = [10010000]$

这样，观测方程可以写成：

[

]

[

]

[

]

[

]

\begin{bmatrix} z_{x,k} \ z_{y,k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_k \ y_k \ v_{x,k} \ v_{y,k} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_{x,k} \ v_{y,k} \end{bmatrix}

$[z_{x, k} z_{y, k}] = [10010000]$

xkykvx,kvy,k

+[vx,kvy,k]

即：

[

]

[

]

[

]

\begin{bmatrix} z_{x,k} \ z_{y,k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_k \ y_k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_{x,k} \ v_{y,k} \end{bmatrix}

$[z_{x, k} z_{y, k}] = [x_{k} y_{k}] + [v_{x, k} v_{y, k}]$

构造观测矩阵 $\mathbf{H} H$

通过上面的分析，我们得到了观测矩阵

\mathbf{H}

$H$ ：

[

]

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$H = [10010000]$

测量向量（Measurement Vector）

测量向量包含实际观测或测量得到的数据。它通常是状态向量的一部分或线性变换。

记作 $\mathbf{z}_k zk，反映了系统在时间 k k k 的观测数据。$

观测矩阵（Observation Matrix）

观测矩阵将状态向量映射到测量向量，表示从状态向量到测量向量的关系。它定义了哪些状态变量是可观测的以及如何被观测。

记作 $\mathbf{H}_k Hk，用于从状态向量中提取测量向量： z k = H k x k + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k zk=Hkxk+vk$

关系与应用

测量向量与观测矩阵：观测矩阵 $\mathbf{H}_k Hk 描述了如何从状态向量 x k \mathbf{x}_k xk 中提取测量向量 z k \mathbf{z}_k zk。例如，如果我们只能测量位置而不能直接测量速度，那么观测矩阵可能是： H k = [ 1 0 ] \mathbf{H}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} Hk=[10]$

例子

假设我们要跟踪一个在平面上运动的物体，其状态包括位置和速度：

状态向量 $\mathbf{x}_k xk: x k = [ x k y k x ˙ k y ˙ k ] \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \ y_k \ \dot{x}_k \ \dot{y}_k \end{bmatrix} xk= xkykx˙ky˙k 这里 x k x_k xk 和 y k y_k yk 是位置， x ˙ k \dot{x}_k x˙k 和 y ˙ k \dot{y}_k y˙k 是速度。$
状态转移矩阵 $\mathbf{A}_k Ak: A k = [ 1 0 Δ t 0 0 1 0 Δ t 0 0 1 0 0 0 0 1 ] \mathbf{A}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \ 0 & 1 & 0 & \Delta t \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Ak= 10000100Δt0100Δt01 这表示位置随时间步长 Δ t \Delta t Δt 变化。$
测量向量 $\mathbf{z}_k zk: z k = [ z x k z y k ] \mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_{x_k} \ z_{y_k} \end{bmatrix} zk=[zxkzyk]这里 z x k z_{x_k} zxk 和 z y k z_{y_k} zyk 是测量得到的位置。$
观测矩阵 $\mathbf{H}_k Hk: H k = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} Hk=[10010000]这表示我们只测量位置，而速度不可测。$

在卡尔曼滤波中，预测步骤利用状态转移矩阵和控制输入预测系统的下一个状态。具体步骤如下：

测量向量通过观测矩阵可以得到预测测量值。这一过程是将状态向量映射到测量空间的关键步骤，用于比较实际测量值和预测测量值，从而更新状态估计。观测矩阵和测量残差一起在卡尔曼滤波器中发挥作用，使得状态估计更加准确和可靠。

观测矩阵的作用

观测矩阵（Observation Matrix）描述了状态向量与测量向量之间的关系。它将状态向量映射到测量空间，使得可以从状态向量中提取出测量向量。

测量向量与预测测量值

假设系统的状态向量为

\mathbf{x}_k

$x_{k}$ ，测量向量为

\mathbf{z}_k

$z_{k}$ ，观测矩阵为

\mathbf{H}_k

$H_{k}$ 。观测矩阵将状态向量映射到测量空间，得到预测测量值（或估计测量值）

\hat{\mathbf{z}}_k

$z^_{k}$ ：

\hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k

$z^_{k} = H_{k} x_{k}$

具体步骤

预测步骤：利用状态转移矩阵和控制输入预测下一时刻的状态向量 $\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} x^k∣k−1。$
计算预测测量值：利用观测矩阵 $\mathbf{H}_k Hk 将预测状态向量 x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} x^k∣k−1 转换为预测测量值 z ^ k \hat{\mathbf{z}}_k z^k： z ^ k = H k x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} z^k=Hkx^k∣k−1$
更新步骤：比较预测测量值 $\hat{\mathbf{z}}_k z^k 和实际测量值 z k \mathbf{z}_k zk，计算测量残差 y k \mathbf{y}_k yk，并用它来更新状态向量和误差协方差矩阵。$

例子

假设我们跟踪一个物体，其状态向量包括位置和速度：

[

]

\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \ y_k \ \dot{x}_k \ \dot{y}_k \end{bmatrix}

$x_{k} =$

xkykx˙ky˙k

假设我们只能测量位置，而不能直接测量速度，观测矩阵可以表示为：

[

]

\mathbf{H}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$H_{k} = [10010000]$
假设在时间步长

$k$ 的预测状态向量为：

∣

−

[

−

]

\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = \begin{bmatrix} 10 \ 15 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}

$x^_{k ∣ k - 1} =$

10151−1

观测矩阵将状态向量映射到测量空间，得到预测测量值：

∣

−

[

]

[

−

]

[

]

\hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 \ 15 \ 1 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \ 15 \end{bmatrix}

$z^_{k} = H_{k} x^_{k ∣ k - 1} = [10010000]$

10151−1

=[1015]

测量残差和更新

实际测量值可能为：

[

]

\mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} 11 \ 14 \end{bmatrix}

$z_{k} = [1114]$
测量残差（或创新）为：

−

[

]

−

[

]

[

−

]

\mathbf{y}_k = \mathbf{z}_k – \hat{\mathbf{z}}_k = \begin{bmatrix} 11 \ 14 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 10 \ 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}

$y_{k} = z_{k} - z^_{k} = [1114] - [1015] = [1 - 1]$
测量残差用于更新预测状态，使其更接近实际测量值。更新后的状态向量和误差协方差矩阵通过卡尔曼增益

\mathbf{K}_k

$K_{k}$ 进行修正：

∣

−

\hat{\mathbf{x}}_{k|k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k \mathbf{y}_k

$x^_{k ∣ k} = x^_{k ∣ k - 1} + K_{k} y_{k}$

∣

(

−

)

∣

−

\mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} – \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}

$P_{k ∣ k} = (I - K_{k} H_{k}) P_{k ∣ k - 1}$

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