证明 指数分布 的期望和方差
指数分布
指数分布（Exponential Distribution）是一种常见的连续型概率分布，通常用于描述事件之间的时间间隔。假设随机变量 ( X ) 服从参数为 ( \lambda ) 的指数分布，记作 
指数分布的概率密度函数（PDF）为：
f
(
x
)
=
{
λ
e
−
λ
x
x
≥
0
0
x
<
0
f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \ 0 & x < 0 \end{cases}
f(x)={λe−λx0x≥0x<0
期望值
期望值（Expectation）表示随机变量的平均值。对于指数分布 ( X )，其期望值 ( \mathbb{E}(X) ) 定义为：
E
(
X
)
=
∫
0
∞
x
f
(
x
)
d
x
\mathbb{E}(X) = \int_{0}^{\infty} x f(x) \, dx
E(X)=∫0∞xf(x)dx
代入指数分布的概率密度函数：
E
(
X
)
=
∫
0
∞
x
λ
e
−
λ
x
d
x
\mathbb{E}(X) = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} \, dx
E(X)=∫0∞xλe−λxdx
将 (\lambda) 提取出来：
E
(
X
)
=
λ
∫
0
∞
x
e
−
λ
x
d
x
\mathbb{E}(X) = \lambda \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} \, dx
E(X)=λ∫0∞xe−λxdx
为了计算这个积分，我们使用分部积分法。设：
u
=
x
,
d
v
=
e
−
λ
x
d
x
u = x, \quad dv = e^{-\lambda x} \, dx
u=x,dv=e−λxdx
则：
d
u
=
d
x
,
v
=
−
1
λ
e
−
λ
x
du = dx, \quad v = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}
du=dx,v=−λ1e−λx
应用分部积分公式 
∫
0
∞
x
e
−
λ
x
d
x
=
−
x
λ
e
−
λ
x
∣
0
∞
+
∫
0
∞
1
λ
e
−
λ
x
d
x
\int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} \, dx = \left. -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \, dx
∫0∞xe−λxdx=−λxe−λx
0∞+∫0∞λ1e−λxdx
第一个项在 ( x = 0 ) 时为 0，在 ( x o \infty ) 时也趋近于 0，因此：
−
x
λ
e
−
λ
x
∣
0
∞
=
0
\left. -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} \right|_{0}^{\infty} = 0
−λxe−λx
0∞=0
第二个项为：
∫
0
∞
1
λ
e
−
λ
x
d
x
=
1
λ
∫
0
∞
e
−
λ
x
d
x
=
1
λ
[
−
1
λ
e
−
λ
x
]
0
∞
=
1
λ
(
0
−
(
−
1
)
)
=
1
λ
2
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda} \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda} \left( 0 – (-1) \right) = \frac{1}{\lambda^2}
∫0∞λ1e−λxdx=λ1∫0∞e−λxdx=λ1[−λ1e−λx]0∞=λ1(0−(−1))=λ21
因此，
E
(
X
)
=
λ
⋅
1
λ
2
=
1
λ
\mathbb{E}(X) = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}
E(X)=λ⋅λ21=λ1
方差
方差（Variance）表示随机变量与其期望值之间的离散程度。方差的定义为：
Var
(
X
)
=
E
[
(
X
−
E
(
X
)
)
2
]
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
ext{Var}(X) = \mathbb{E}[(X – \mathbb{E}(X))^2] = \mathbb{E}(X^2) – (\mathbb{E}(X))^2
Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−(E(X))2
首先，我们计算 ( \mathbb{E}(X^2) )：
E
(
X
2
)
=
∫
0
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
\mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 f(x) \, dx
E(X2)=∫0∞x2f(x)dx
代入指数分布的概率密度函数：
E
(
X
2
)
=
∫
0
∞
x
2
λ
e
−
λ
x
d
x
\mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx
E(X2)=∫0∞x2λe−λxdx
将 (\lambda) 提取出来：
E
(
X
2
)
=
λ
∫
0
∞
x
2
e
−
λ
x
d
x
\mathbb{E}(X^2) = \lambda \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-\lambda x} \, dx
E(X2)=λ∫0∞x2e−λxdx
为了计算这个积分，我们再次使用分部积分法。设：
u
=
x
2
,
d
v
=
e
−
λ
x
d
x
u = x^2, \quad dv = e^{-\lambda x} \, dx
u=x2,dv=e−λxdx
则：
d
u
=
2
x
d
x
,
v
=
−
1
λ
e
−
λ
x
du = 2x \, dx, \quad v = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}
du=2xdx,v=−λ1e−λx
应用分部积分公式 
∫
0
∞
x
2
e
−
λ
x
d
x
=
−
x
2
λ
e
−
λ
x
∣
0
∞
+
∫
0
∞
2
x
λ
e
−
λ
x
d
x
\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-\lambda x} \, dx = \left. -\frac{x^2}{\lambda} e^{-\lambda x} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{\lambda} e^{-\lambda x} \, dx
∫0∞x2e−λxdx=−λx2e−λx
0∞+∫0∞λ2xe−λxdx
第一个项在 ( x = 0 ) 时为 0，在 ( x o \infty ) 时也趋近于 0，因此：
−
x
2
λ
e
−
λ
x
∣
0
∞
=
0
\left. -\frac{x^2}{\lambda} e^{-\lambda x} \right|_{0}^{\infty} = 0
−λx2e−λx
0∞=0
第二个项为：
∫
0
∞
2
x
λ
e
−
λ
x
d
x
=
2
λ
∫
0
∞
x
e
−
λ
x
d
x
\int_{0}^{\infty} \frac{2x}{\lambda} e^{-\lambda x} \, dx = \frac{2}{\lambda} \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} \, dx
∫0∞λ2xe−λxdx=λ2∫0∞xe−λxdx
我们之前已经计算过这个积分：
∫
0
∞
x
e
−
λ
x
d
x
=
1
λ
2
\int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda^2}
∫0∞xe−λxdx=λ21
因此，
E
(
X
2
)
=
λ
⋅
2
λ
⋅
1
λ
2
=
2
λ
2
\mathbb{E}(X^2) = \lambda \cdot \frac{2}{\lambda} \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2}
E(X2)=λ⋅λ2⋅λ21=λ22
现在我们可以计算方差：
Var
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
2
λ
2
−
(
1
λ
)
2
=
2
λ
2
−
1
λ
2
=
1
λ
2
ext{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) – (\mathbb{E}(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2} – \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{2}{\lambda^2} – \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}
Var(X)=E(X2)−(E(X))2=λ22−(λ1)2=λ22−λ21=λ21
结论
对于指数分布 
，其期望值和方差分别为：
E
(
X
)
=
1
λ
\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}
E(X)=λ1
Var
(
X
)
=
1
λ
2
ext{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}
Var(X)=λ21
这些结果表明，在进行一系列独立的指数分布事件中，事件之间时间间隔的平均值是 ( \frac{1}{\lambda} )，而离散程度由 ( \frac{1}{\lambda^2} ) 决定。
