深度学习 – 激活函数

激活函数（Activation Function）是神经网络中的关键组件，用于引入非线性，使得网络能够学习和表示复杂的模式和关系。以下是几种常见的激活函数及其详细解释：

1. Sigmoid（S型激活函数）

作用过程：
Sigmoid 函数将输入映射到 (0, 1) 之间。公式为：

σ

(

x

)

=

1

1

+

e

−

x

\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}

σ(x)=1+e−x1​
Sigmoid 将大负数映射到接近 0，大正数映射到接近 1，中间值映射到 0.5 附近。

优点：

• 输出在 (0, 1) 之间，有明确的边界，适合处理概率问题。
• 平滑且连续，易于计算导数。

缺点：

• 梯度消失问题：当输入非常大或非常小时，梯度接近零，导致参数更新缓慢。
• 输出非零均值：输出范围是正数，导致后续层的输入非零均值，这可能导致训练不稳定。

适用场景：

• 输出需要概率的场景，如二分类问题的输出层。

实际案例：
在二分类问题中，例如垃圾邮件分类，Sigmoid 函数常用于输出层，将神经网络的输出映射为概率值。

代码实现：

import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt

x = torch.linspace(-10, 10, 100)
sigmoid = nn.Sigmoid()
y = sigmoid(x)

plt.plot(x.numpy(), y.detach().numpy())
plt.title("Sigmoid Activation Function")
plt.xlabel("Input")
plt.ylabel("Output")
plt.grid(True)
plt.show()

2. ReLU（Rectified Linear Unit）

作用过程：
ReLU 函数将输入中小于零的部分置为零，其余部分保持不变。公式为：

ReLU

(

x

)

=

max

⁡

(

0

,

x

)

ext{ReLU}(x) = \max(0, x)

ReLU(x)=max(0,x)

优点：

• 计算简单且高效，只需比较和赋值。
• 缓解梯度消失问题：只要输入为正，梯度恒为 1，确保反向传播时梯度不会消失。

缺点：

• Dying ReLU 问题：如果输入始终为负，神经元将永远不激活，导致部分神经元永远不起作用。

适用场景：

• 隐藏层的首选激活函数，广泛应用于各类神经网络。

实际案例：
在图像分类任务中，ReLU 常用于卷积神经网络（CNN）的隐藏层，因其高效的计算特性。

代码实现：

relu = nn.ReLU()
y = relu(x)

plt.plot(x.numpy(), y.detach().numpy())
plt.title("ReLU Activation Function")
plt.xlabel("Input")
plt.ylabel("Output")
plt.grid(True)
plt.show()

3. Leaky ReLU

作用过程：
Leaky ReLU 在 ReLU 的基础上引入了一个小的斜率，使得负输入也有一个小的输出，公式为：

Leaky ReLU

(

x

)

=

max

⁡

(

0.01

x

,

x

)

ext{Leaky ReLU}(x) = \max(0.01x, x)

Leaky ReLU(x)=max(0.01x,x)

优点：

• 解决 Dying ReLU 问题：负输入仍有非零输出，确保神经元不完全死亡。

缺点：

• 引入了额外的参数，计算复杂度稍高于 ReLU。

适用场景：

• 需要避免 Dying ReLU 的场景，尤其是在深度神经网络中。

实际案例：
在深度卷积神经网络（如 ResNet）中，Leaky ReLU 可以用于各层之间，以防止神经元失活。

代码实现：

leaky_relu = nn.LeakyReLU(0.01)
y = leaky_relu(x)

plt.plot(x.numpy(), y.detach().numpy())
plt.title("Leaky ReLU Activation Function")
plt.xlabel("Input")
plt.ylabel("Output")
plt.grid(True)
plt.show()

4. Tanh（双曲正切函数）

作用过程：
Tanh 函数将输入映射到 (-1, 1) 之间，公式为：

tanh

⁡

(

x

)

=

e

x

−

e

−

x

e

x

+

e

−

x

anh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

tanh(x)=ex+e−xex−e−x​

优点：

• 输出零均值：输出在 (-1, 1) 之间，有助于收敛速度的提升。

缺点：

• 梯度消失问题：与 Sigmoid 类似，当输入非常大或非常小时，梯度接近零。

适用场景：

• 希望输出有负值的情况，例如 RNN 的隐藏层。

实际案例：
在自然语言处理任务中，Tanh 常用于 RNN 的隐藏层，因为其输出具有零均值特性，有助于序列数据的建模。

代码实现：

tanh = nn.Tanh()
y = tanh(x)

plt.plot(x.numpy(), y.detach().numpy())
plt.title("Tanh Activation Function")
plt.xlabel("Input")
plt.ylabel("Output")
plt.grid(True)
plt.show()

5. Softmax

作用过程：
Softmax 函数将输入转换为概率分布，总和为 1，适用于多分类问题，公式为：

Softmax

(

x

i

)

=

e

x

i

∑

j

e

x

j

ext{Softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j} e^{x_j}}

Softmax(xi​)=∑j​exj​exi​​

优点：

• 输出为概率分布，适合多分类任务。
• 保证输出和为 1，便于概率解释。

缺点：

• 数值不稳定：对于大数值输入，可能导致溢出。

适用场景：

• 多分类问题的输出层，例如图像分类任务中的类别概率预测。

实际案例：
在 ImageNet 图像分类任务中，Softmax 常用于最后一层，将网络输出转换为各类别的概率。

代码实现：

softmax = nn.Softmax(dim=0)
y = softmax(x)

plt.plot(x.numpy(), y.detach().numpy())
plt.title("Softmax Activation Function")
plt.xlabel("Input")
plt.ylabel("Output")
plt.grid(True)
plt.show()

常见问题及解决方案

1. 梯度消失：

   • 问题：当激活函数的梯度趋近于零时，神经网络的训练速度变得极慢。
   • 解决方案：使用 ReLU 或其变体（如 Leaky ReLU）来缓解梯度消失问题。

2. Dying ReLU：

   • 问题：ReLU 中的一些神经元可能会永久性地输出零。
   • 解决方案：使用 Leaky ReLU 或 Parametric ReLU 来避免神经元死亡。

3. 数值不稳定：

   • 问题：在计算 Softmax 或其他激活函数时，可能会出现数值溢出或下溢。
   • 解决方案：在计算 Softmax 时使用数值稳定技巧，例如减去输入中的最大值。

4. 训练不稳定：

   • 问题：某些激活函数可能导致训练过程中的不稳定性。
   • 解决方案：对输入数据进行标准化，或在网络中使用 Batch Normalization。

5. 慢收敛：

   • 问题：激活函数的选择可能导致训练过程收敛缓慢。
   • 解决方案：尝试不同的激活函数，并调整学习率和优化器参数。

激活函数汇总

激活函数汇总表格

具体效果及常见问题总结

激活函数全称

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