矩阵指数函数的计算及例子

        最近在学习矩阵指数函数相关的知识，遇到了一些比较有意思的计算方法，写出来供大家一同学习。

        矩阵指数函数的计算是线性系统学习过程中非常重要的部分，下面我将给出四种常见的计算矩阵指数函的方法：

（1）定义法：

对于给定的矩阵，计算的计算式为：

此方法并不能够得到矩阵指数函数的解析形式，故不能应用于计算中。但是，此方法能够得到矩阵指数函数的数值解，且在编程计算和获得数值解方面有着很大的优势。

（2）特征值法：

对于给定的矩阵,通过特征值法计算矩阵指数函数的方式，首先要确定矩阵的特征值为两两互异的，同时根据特征值导出矩阵的右特征向量，求出变换矩阵

其中，                             

则，计算的计算式为：

例，给定一个连续时间线性时不变系统，其自洽方程为

求其矩阵指数函数。

故，矩阵A 的特征值为，进而求出使化为约当标准型的变换矩阵，进而求出：

基此，

特征值法仅适用于矩阵的特征值为互异的情况，且高阶矩阵的运算较麻烦。

（3）预解矩阵法：

对于给定的矩阵,通过预解矩阵法计算矩阵指数函数的方式，首先要定出预解矩阵，则计算的计算式为：

根据解法2中的题目，由预解矩阵法得：

然后利用拉普拉斯反变换得：

同样的，当矩阵为高阶矩阵时，采用预解矩阵法的运算量会很大，下面我们介绍一下另一种计算方法。

反之，我们可以利用预解矩阵法的反变换根据矩阵指数函数得到矩阵，具体的放法有如下两种：

        1）

        2）

（4）有限项展开法：

首先，定义是n阶方阵上的函数；若是多项式且在A的频谱之上，则矩阵函数可定义为。对于n次多项式可找到一个n-1次多项式，，当然此处的可根据题目中的求解的特征值的具体形式做出一定形式的变化，后面会根据文章的阅读情况做出详细的阐述。

具体算法如下：

step1:求出矩阵的特征值。

step2:

其中，和是对求导数，并非关于t求导。此时，根据系数相等的原则，解出对应的的值，并带入step3中，得出最终的矩阵指数函数。

step3:最后求出

至此，解毕。