深度学习 – 张量的广播机制和复杂运算
张量的广播机制（Broadcasting）是一种处理不同形状张量进行数学运算的方式。通过广播机制，PyTorch可以自动扩展较小的张量，使其与较大的张量形状兼容，从而进行元素级的运算。广播机制遵循以下规则：
- 如果张量维度不相同，在较小张量的形状前面加上1，直到两个张量的维度相同。
- 如果两个张量在某个维度的长度不相同，但其中一个张量在该维度的长度为1，那么在该维度上，较小长度的张量会被扩展为较大长度。
- 如果两个张量在任何维度上长度不同且均不为1，则无法进行广播，会引发错误。
广播机制的规则示例
规则1：在较小张量的形状前面加1
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([[1], [2], [3]])
c = a + b
print(c)
运行结果：
tensor([[2, 3, 4],
[3, 4, 5],
[4, 5, 6]])
解释：a的形状是(3,), b的形状是(3,1)。在较小的张量前面加1变成(1,3)和(3,1)，然后在第0维度上广播。
规则2：在某个维度的长度为1
a = torch.tensor([[1, 2, 3]])
b = torch.tensor([[4], [5], [6]])
c = a + b
print(c)
运行结果：
tensor([[5, 6, 7],
[6, 7, 8],
[7, 8, 9]])
解释：a的形状是(1,3), b的形状是(3,1)。a被广播到(3,3)，b也被广播到(3,3)。
规则3：无法广播的情况
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
try:
c = a + b
except RuntimeError as e:
print(e)
运行结果：
The size of tensor a (3) must match the size of tensor b (2) at non-singleton dimension 1
解释：a的形状是(3,), b的形状是(2,2)，它们的形状不兼容，无法进行广播。
广播机制的详细示例
示例1：标量与多维张量相加
a = torch.tensor(5)
b = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
c = a + b
print(c)
运行结果：
tensor([[ 6, 7, 8],
[ 9, 10, 11]])
解释：标量a被广播到与b形状匹配，变成(2,3)。
示例2：形状不一致但能广播
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([[1], [2], [3]])
c = a + b
print(c)
运行结果：
tensor([[2, 3, 4],
[3, 4, 5],
[4, 5, 6]])
解释：a的形状是(3,), b的形状是(3,1)。a被广播到(3,3)，b被广播到(3,3)。
示例3：不同维度的广播
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([[[1]], [[2]], [[3]]])
c = a + b
print(c)
运行结果：
tensor([[[2, 3, 4]],
[[3, 4, 5]],
[[4, 5, 6]]])
解释：a的形状是(3,)，b的形状是(3,1,1)。a被广播到(3,1,3)，b被广播到(3,1,3)。
示例4：标量与高维张量的广播
a = torch.tensor(10)
b = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
c = a * b
print(c)
运行结果：
tensor([[[10, 20],
[30, 40]],
[[50, 60],
[70, 80]]])
解释：标量a被广播到与b的形状匹配。
示例5：不同形状的广播加法
a = torch.tensor([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = torch.tensor([10, 20])
c = a + b
print(c)
运行结果：
tensor([[11, 22],
[13, 24],
[15, 26]])
解释：a的形状是(3,2)，b的形状是(2,)。b被广播到(3,2)。
张量的基本操作
示例1：基本运算
a = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = torch.tensor([[[2, 2], [2, 2]], [[2, 2], [2, 2]]])
c = a * b
print(c)
运行结果：
tensor([[[ 2, 4],
[ 6, 8]],
[[10, 12],
[14, 16]]])
解释：对a和b中的每个元素进行乘法运算。
示例2：列表索引
a = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = a[0]
print(b)
运行结果：
tensor([[1, 2],
[3, 4]])
解释：选择张量a的第0个二维子张量。
示例3：范围索引
a = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = a[:, 0, :]
print(b)
运行结果：
tensor([[1, 2],
[5, 6]])
解释：选择张量a中所有的第0个二维子张量的所有元素。
示例4：布尔索引
a = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = a > 4
c = a[b]
print(c)
运行结果：
tensor([5, 6, 7, 8])
解释：选择张量a中所有大于4的元素。
示例5：多维索引
a = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = a[1, 1, 1]
print(b)
运行结果：
tensor(8)
解释：选择张量a的第二个三维子张量中的第二个二维子张量中的第二个元素。
示例6：形状操作（reshape）
a = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = a.reshape(4, 2)
print(b)
运行结果：
tensor([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6],
[7, 8]])
解释：将张量a重塑为形状为(4, 2)的张量。
示例7：形状操作（squeeze）
a = torch.tensor([[[1, 2]], [[3, 4]], [[5, 6]]])
b = a.squeeze()
print(b)
运行结果：
tensor([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
解释：删除张量a中所有为1的维度。
示例8：形状操作（unsqueeze）
a = torch.tensor([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = a.unsqueeze(1)
print(b)
运行结果：
tensor([[[1, 2]],
[[3, 4]],
[[5, 6]]])
解释：在张量a的第一维度增加一个维度。
示例9：形状操作（transpose）
a = torch.tensor([[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]])
b = a.transpose(1, 2)
print(b)
运行结果：
tensor([[[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]]])
解释：交换张量a的第1维和第2维。
示例10：形状操作（permute）
a = torch.tensor([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = a.permute(2, 0, 1)
print(b)
运行结果：
tensor([[[1, 3],
[5, 7]],
[[2, 4],
[6, 8]]])
解释：根据指定的顺序重新排列张量a的维度。
