样本方差的分母是 ( n-1 ) 而不是 ( n ) 的原因与统计学中的“自由度”概念有关。使用 ( n-1 ) 作为分母可以使样本方差成为总体方差的无偏估计量。
自由度
在计算样本方差时，我们需要先计算样本均值 ( \bar{x} )。样本中的 ( n ) 个数据点中，实际上只有 ( n-1 ) 个数据点是自由变化的，因为最后一个数据点可以通过样本均值和前面的 ( n-1 ) 个数据点确定。因此，我们说在计算样本方差时，有 ( n-1 ) 个自由度。
无偏估计
如果我们使用 ( n ) 作为分母来计算样本方差：
s
n
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
ˉ
)
2
s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2
sn2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2
这个估计量会系统性地低估总体方差 ( \sigma^2 )。这是因为在计算样本方差时，样本均值 ( \bar{x} ) 是根据样本数据计算出来的，这使得每个样本数据点 ( x_i ) 与 ( \bar{x} ) 的差异小于它们与总体均值 ( \mu ) 的差异。
为了纠正这种偏差，我们使用 ( n-1 ) 作为分母来计算样本方差：
s
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
ˉ
)
2
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2
s2=n−11i=1∑n(xi−xˉ)2
这种调整使得样本方差成为总体方差的无偏估计量。这意味着在大量重复抽样的情况下，样本方差的期望值等于总体方差。
数学证明
为了证明这种调整的合理性，我们可以用期望值的概念进行解释。令样本方差的计算公式为：
s
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
ˉ
)
2
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2
s2=n−11i=1∑n(xi−xˉ)2
然后考虑它的期望值：
E
[
s
2
]
=
E
[
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
ˉ
)
2
]
E[s^2] = E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2\right]
E[s2]=E[n−11i=1∑n(xi−xˉ)2]
经过数学推导，可以证明：
E
[
s
2
]
=
σ
2
E[s^2] = \sigma^2
E[s2]=σ2
这表明使用 ( n-1 ) 作为分母能使样本方差的期望值等于总体方差，从而使样本方差成为总体方差的无偏估计量。
