二次规划（Quadratic Programming, QP）

二次规划（Quadratic Programming, QP）是优化问题中的一个重要类别，它涉及目标函数为二次函数并且线性约束条件的优化问题。二次规划在控制系统、金融优化、机器学习等领域有广泛应用。下面详细介绍二次规划问题的原理和求解过程

二次规划问题的定义

一个标准的二次规划问题可以表示为：

其中：

• x 是待优化的变量向量。
• Q 是对称半正定矩阵，定义了目标函数的二次项。
• c 是线性项的系数向量。
• A 是不等式约束的系数矩阵。
• b 是不等式约束的边界向量。
• E 是等式约束的系数矩阵。
• d 是等式约束的边界向量。

二次规划问题的求解过程

二次规划问题的求解可以通过多种方法实现，包括：

• 单纯形法：扩展自线性规划的单纯形法，适用于小规模问题。
• 内点法：基于对偶性和非线性规划的内点方法，适用于大规模问题。
• 活跃集法：迭代确定活跃约束集的方法，适用于中等规模问题。

下面以内点法为例，介绍其基本求解过程。

内点法求解二次规划问题

内点法通过引入松弛变量和对偶变量，将原问题转换为无约束问题，并使用牛顿法迭代求解。其