03-3.5.1~4 特殊矩阵的压缩存储
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数组的存储结构
一维数组
ElemType a[10]; // ElemType型一维数组
起始地址：LOC
各数组元素大小相同且物理上连续存放
数组元素a[i]的存放地址 =
L
O
C
+
i
∗
s
i
z
e
o
f
(
E
l
e
m
T
y
p
e
)
LOC+i*sizeof(ElemType)
LOC+i∗sizeof(ElemType)
(
0
<
=
i
<
10
)
(0 <= i < 10)
(0<=i<10)
注：除非题目特别说明，否则数组下标默认从0开始
二维数组
ElemType b[2][4]; // 2行4列的二维数组
起始地址：LOC
M行N列的二维数组b[M][N]中
- 若按行优先存储，则
b[i][j]的存储地址 =L
O
C
+
(
i
∗
N
+
j
)
∗
s
i
z
e
o
f
(
E
l
e
m
T
y
p
e
)
LOC + (i*N+j)*sizeof(ElemType)
LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType) - 若按列优先存储，则
b[i][j]的存储地址 =L
O
C
+
(
i
+
j
∗
M
)
∗
s
i
z
e
o
f
(
E
l
e
m
T
y
p
e
)
LOC+(i+j*M)*sizeof(ElemType)
LOC+(i+j∗M)∗sizeof(ElemType)
特殊矩阵
普通矩阵
∣
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
.
.
.
.
.
.
a
1
,
n
−
1
a
1
,
n
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
.
.
.
.
.
.
a
2
,
n
−
1
a
2
,
n
a
3
,
1
a
3
,
2
a
3
,
3
.
.
.
.
.
.
a
3
,
n
−
1
a
3
,
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a
n
,
1
a
n
,
2
a
n
,
3
.
.
.
.
.
.
a
n
,
n
−
1
a
n
,
n
∣
\begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&……&a_{1,n-1}&a_{1,n}\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&……&a_{2,n-1}&a_{2,n}\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&……&a_{3,n-1}&a_{3,n}\ \vdots&\vdots&\vdots&\,&\vdots&\vdots\ a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&……&a_{n,n-1}&a_{n,n}\ \end{vmatrix}
a1,1a2,1a3,1⋮an,1a1,2a2,2a3,2⋮an,2a1,3a2,3a3,3⋮an,3……………………a1,n−1a2,n−1a3,n−1⋮an,n−1a1,na2,na3,n⋮an,n
可用二位数组存储
注意：描述矩阵元素时，行、列号通常从 1 开始；而描述数组时通常下标从 0 开始（具体看题目给的条件，注意审题）
对称矩阵的压缩存储
若 n 阶方阵中任意一个元素
a
i
,
j
a_{i,j}
ai,j 都有
a
i
,
j
=
a
j
,
i
a_{i,j}=a_{j,i}
ai,j=aj,i ，则称该矩阵为对称矩阵
∣
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
.
.
.
.
.
.
a
1
,
n
−
1
a
1
,
n
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
.
.
.
.
.
.
a
2
,
n
−
1
a
2
,
n
a
3
,
1
a
3
,
2
a
3
,
3
.
.
.
.
.
.
a
3
,
n
−
1
a
3
,
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
a
n
−
1
,
1
a
n
−
1
,
2
a
n
−
1
,
3
.
.
.
.
.
.
a
n
−
1
,
n
−
1
a
n
−
1
,
n
a
n
,
1
a
n
,
2
a
n
,
3
.
.
.
.
.
.
a
n
,
n
−
1
a
n
,
n
∣
\begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&……&a_{1,n-1}&a_{1,n}\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&……&a_{2,n-1}&a_{2,n}\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&……&a_{3,n-1}&a_{3,n}\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&……&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\ a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&……&a_{n,n-1}&a_{n,n}\ \end{vmatrix}
a1,1a2,1a3,1⋮an−1,1an,1a1,2a2,2a3,2⋮an−1,2an,2a1,3a2,3a3,3⋮an−1,3an,3………………⋱…………a1,n−1a2,n−1a3,n−1⋮an−1,n−1an,n−1a1,na2,na3,n⋮an−1,nan,n
普通存储：
n
∗
n
n*n
n∗n 二维数组
压缩存储：只存储主对角线+下三角区
- 策略：只存储主对角线+下三角区
按行优先原则将各元素存入一维数组中
思考：
- 数组大小应该为多少？
n
(
n
+
1
)
2
\frac{n(n+1)}{2}
2n(n+1)
- 站在程序员的角度，对称矩阵压缩存储后怎样才能方便使用？
- 可以实现一个“映射”函数，矩阵下标->一维数组下标
那么如何才能把矩阵的下标映射为一维数组的下标呢？
- 关键：按照行优先的原则且
(
i
≥
j
)
(i\geq j)
(i≥j) ，a
i
,
j
a_{i,j}
ai,j 是数组B
[
k
]
B[k]
B[k] 中的第几个元素？- 根据下标 i ，前面有
i
(
i
−
1
)
2
+
j
\frac{i(i-1)}{2}+j
2i(i−1)+j 个元素 - 所以
k
=
i
(
i
−
1
)
2
+
j
−
1
k=\frac{i(i-1)}{2}+j-1
k=2i(i−1)+j−1 （如果有些数组下标从 1 开始，那么就不需要 -1 了
- 根据下标 i ，前面有
- 那么如果是
i
<
j
i<j
i<j 呢？- 根据对称矩阵的性质，我们可以转变为访问
a
j
,
i
a_{j,i}
aj,i - 那么
k
=
j
(
j
−
1
)
2
+
i
−
1
k=\frac{j(j-1)}{2}+i-1
k=2j(j−1)+i−1
- 根据对称矩阵的性质，我们可以转变为访问
三角矩阵
下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同
上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同
压缩存储策略：按行优先原则将橙色区元素存入一维数组中。并在最后一个位置存储常量 c
- 如果是下三角矩阵：
- 三角矩阵的下标映射为一维数组的下标和对称矩阵的一样：
k
=
{
i
(
i
−
1
)
2
+
j
−
1
,
i
≥
j
（下三角区和主对角线元素）
j
(
j
−
1
)
2
+
i
−
1
,
i
<
j
（上三角区元素）
k=\begin{cases}\frac{i(i-1)}{2}+j-1,\,\,\,\,i\geq j\,\,（下三角区和主对角线元素）\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1,\,\,\,i<j\,\,\,（上三角区元素）\end{cases}
k={2i(i−1)+j−1,i≥j（下三角区和主对角线元素）2j(j−1)+i−1,i<j（上三角区元素）
- 三角矩阵的下标映射为一维数组的下标和对称矩阵的一样：
- 如果是上三角矩阵：
k
=
{
(
i
−
1
)
(
2
n
−
i
+
2
)
2
+
(
j
−
i
)
,
i
≤
j
（上三角区和主对角线元素）
n
(
n
+
1
)
2
,
i
>
j
（下三角区元素）
k = \begin{cases}\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2}+(j-i),\,\,\,\,i\leq j（上三角区和主对角线元素）\ \frac{n(n+1)}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i>j（下三角区元素）\end{cases}
k={2(i−1)(2n−i+2)+(j−i),i≤j（上三角区和主对角线元素）2n(n+1),i>j（下三角区元素）
三对角矩阵
三对角矩阵，又称带状矩阵：
当
∣
i
−
j
∣
>
1
|i-j|>1
∣i−j∣>1 时，有
a
i
,
j
=
0
(
1
≤
i
,
j
≤
n
)
a_{i,j}=0\,\,(1\leq i,j \leq n)
ai,j=0(1≤i,j≤n)
也就是说，主对角线上的元素都是非零元素，并且任意一个主对角线上的元素四周的元素都是非零元素，再往外的元素都是零元素
按照行优先（或列优先）原则，只存储带状部分
不难发现，前
i
−
1
i-1
i−1 行共有
3
(
i
−
1
)
−
1
3(i-1)-1
3(i−1)−1 个元素，
a
i
,
j
a_{i,j}
ai,j 应该是第 i 行的第
j
−
i
+
2
j-i+2
j−i+2 个元素，所以
a
i
,
j
a_{i,j}
ai,j 是第
2
i
+
j
−
2
2i+j-2
2i+j−2 个元素 –>
k
=
2
i
+
j
−
3
k=2i+j-3
k=2i+j−3
反之，如果已经知道数组下标 k ，如何得到 i，j？
前
i
−
1
i-1
i−1 共
3
(
i
−
1
)
−
1
3(i-1)-1
3(i−1)−1 个元素
前
i
i
i 行共
3
i
−
1
3i-1
3i−1 个元素
显然，
3
(
i
−
1
)
−
1
<
k
+
1
≤
3
i
−
1
3(i-1)-1<k+1\leq 3i-1
3(i−1)−1<k+1≤3i−1
当
i
=
(
k
+
2
)
3
i=\frac{(k+2)}{3}
i=3(k+2) ，向上取整，刚好可以满足上面那个表达式
稀疏矩阵
稀疏矩阵：非零元素远远少于矩阵元素的个数
压缩存储策略：
- 顺序存储——三元组（行，列，值）
- 链式存储——十字链表法
